[Classical Control]Controller Design: Disturbance Rejection and Sensitivity

1. Introduction

이번 포스팅은 Disturbance rejection과 Sensitivity에 대해 다뤄볼 것이다. 실제 구현된 시스템에는 수많은 Disturbance가 존재한다. 가령 센서에 Noise가 겹쳐 들어올 수 있고, PMSM에 예기치 못한 Load가 걸려 Disturbance가 발생할 수 있다. 이를 개선하기 위해 Noise attenuation과 Disturbance rejection이 필요하다. 기본적으로 필자가 설계하는 PMSM에서 Disturbance를 어떻게 처리하는지 Disturbance rejection의 관점에서 살펴보도록 하자.

 

2. Control System with Disturbance

Figure 1. Feedback Control System with Disturbance

Figure 1.처럼 Disturbance D(s)가 Controller C(s) 뒤에 영향을 미친다고 할 때 Error는 Equation 1.과 같다.

Equation 1.

이때 Y(s)는 Equation 2.와 같고, 이를 정리하면 최종적으로 Equation 3.이 된다.

Equation 2.

Equation 3.

여기서 Disturbance rejection은 D(s)가 0으로 수렴하게 만드는 것이다. PMSM의 경우에 Disturbance rejection은 기존의 Feedback이 아닌 Feedforward 형태로 보상해주게 되면 줄어드는 양상을 보이게 된다.

 

3. Feedforward Control for Disturbance Rejection

Feedforward control F(s)를 보상해주는 형태로 구현하기 위해 Figure 1.에 적용하면 Figure 2.와 같다.

Figure 2. Control System with Feedforward Controller F(s)

이 때 F(s)는 Equation 4.와 같고 Feedforward control이 적용된 시스템은 Figure 3.처럼 근사화된다.

Equation 4.

Figure 3. Appoximation of Figure 2.

 

4. Sensitivity

추가적으로 Disturbance가 얼마나 잘 제거되는지는 설계한 Control System이 정해진 목표를 추종하고 Stability를 만족하는데 Parameter 변화가 얼마나 적은지에 대해서 논해야 한다. 현장에서 주로 사용하는 개념은 아니라서 간단하게 정의만 살펴보고 넘어가겠다. Parameter 변화를 관찰하기 위해 정의하는 각각의 함수는 System sensitivity function과 Parameter sensitivity function이고 각각 Equation 8.과 Equation 9.와 같다. 이때 T(s)는 Closed-loop Transfer function, G(s)는 Plant의 Transfer function, H(s)는 Unity feedback, G(s)의 임의의 변수 Alpha는 Plant parameter이다.

Equation 8.

Equation 9.

 

* Reference

Github Simulation: https://github.com/TitusChoi/Classical_Control/
Figures:
1. Nise, N. S. (2015). Control systems engineering.