[Classical Control]Controller Design: Stability

1. Introduction

제어기가 Steady-state에서 특정 값에 수렴해야 활용할 수 있기 때문에 이에 대한 특성인 Stability는 반드시 짚고 넘어가야 하는 설계 요소이다. 실제 제어기를 설계해보면 하나의 Loop가 아닌 여러 겹의 Loop로 구성되어 있고, 이러한 다중 Closed loop의 안정성을 판단하기 위해서는 상태 공간 방정식의 Eigenvalues나 Transfer function Characteristics의 Poles 말고도 간단하게 판단할 수 있는 방법 Routh-Hurwitz와 같은 기준이 필요하다. 이러한 Stability를 어떻게 판단할 수 있는지 자세하게 알아보도록 하자.

 

2. Stability

Transfer function에서 살펴봤던 내용을 다시 복습해보자. Stability는 Control system design에서 가장 중요한 특성 중 하나이다. 시스템의 Stability가 확보되어야 Steady-state에서 원하는 출력을 얻을 수 있기 때문이다. 모든 LTI 시스템은 초기 조건에 대한 응답인 Zero-input response와 입력에 대한 응답인 Zero-state response로 나뉜다. 이것은 예전에 설명한 Natural response와 Forced response와는 분명히 다른 개념이고 Equation 1.과 같이 표현할 수 있다.

Equation 1.

왼쪽의 y(0) 부분이 Zero-input response이고, 오른쪽이 Zero-state response이다. 이때 Classical control에서는 Zero-state response를 논하며, Zero-state response에서는 BIBO stability, Routh-Hurwitz stability, Marginal stability를 판단한다. Modern control에서는 Internal stability, Lyapunov stability, Asymptotic stability, Exponential stability과 같은 개념을 논한다. 이는 추후에 Modern Control을 다룰 때 소개하겠다. Pole을 알 수 있다면 가장 쉽게 안정성을 판별할 수 있지만, 5차 이상의 Characteristic equation에서는 근의 공식을 활용할 수 없으므로 보통 Routh-Hurwitz stability criterion을 사용한다. 우선 Stability의 몇 가지 특성을 살펴보자.

2.1. Bounded-Input Bounded-Output Stability(BIBO Stability)

BIBO Stability는 모든 입력 u(t)가 Bounded variable M1에 수렴한다고 할 때 시스템의 출력 y(t)가 Bounded variable M2에 수렴한다는 것을 의미한다. 따라서 Equation 2.를 만족한다.

Equation 2.

이러한 출력 y(t)는 Equation 3.과 같이 Convolution integral 형태로 표현할 수 있다. 이때 g(t)는 시스템의 Impulse response이자 Transfer function을 의미한다. Steady-state에서 g(t)는 0으로 수렴한다.

Equation 3.

이 때 Impulse response는 Total response에서 Natural response와 같기 때문에 Equation 4.와 같이 나타낼 수 있다. 또한 BIBO Stability는 Poles의 Real part가 0보다 작아야 g(t)가 0으로 수렴하기 때문에 Equation 5.와 같은 조건을 BIBO Stability를 만족한다고 한다.

Equation 4.

Equation 5.

즉 Figure 1.과 같이 Poles가 LHP(Left-Half Plane)에 존재해야 BIBO Stability를 만족한다.

Figure 1. Stability Region

2.2. Marginal Stability

Figure 1.에서 살펴본 시스템의 Pole들이 Imaginary axis 위에 있는 경우에 이를 Marginally stable이라고 한다. 즉, LHP나 RHP에 따로 속하지 않는다. 이때 시스템은 Steady-state 상태에서 0으로 가지 않고 일정하게 유지되는 Constant 조건을 갖거나 Oscillate 한다. 이러한 Marginal stability는 Time domian에서 앞에 시간이 곱해지는 경우가 있고, 이때 발산할 수도 있다. 따라서 항상 Stable하지는 않다.

2.3. Internal Stability

시스템의 모든 Input, Disturbance에 대해 BIBO Stability를 확보할 수 있을 때 이 시스템을 Internally Stable 하다고 한다. 보통 Controller와 Plant가 각각 BIBO Stability 할 경우 이에 대한 곱, Feedback을 거친 함수 모두 Stable 할 때를 의미한다. 현장에서 가장 많이 사용하는 기법 중 하나인 Pole-Zero cancellation의 경우 Pole-Zero cancellation을 거친 Transfer function 역시 BIBO Stable 해야 Internally stable 하다고 말할 수 있다.

앞서 봤던 내용을 MATLAB 함수 중 하나인 'isstable'을 활용하여 안정성을 확인해볼 수 있다. 시스템이 Stable이면 True, 아니면 False 값을 출력한다.

Figure 2. Underdamped System

sys = tf([9],[1, 2, 9])
P = pole(sys)
TF = isstable(sys)

Figure 3. Stability of sys in MATLAB

 

3. Routh-Hurwitz Criterion

Routh-Hurwitz Criterion은 Characteristic equation에서 Eigenvalues, Poles을 구하기 어려운 경우 활용하는 Stability 판정 방법이다. 보통 3rd-order characteristic equation부터 Poles을 구하기 까다로워지므로 주로 Higher-order characteristic equation에서 활용한다.

3.1. Routh-Hurwitz Criterion

Figure 4. 4th-Order Characteristic Equation

Figure 4.처럼 4th-order transfer function이 있다고 하자. 이때 RH(Routh-Hurwitz) table은 Table 1.과 같이 구할 수 있다.

Table 1. 4th-Order Characteristic Equation RH Table

이때 RH table의 가장 왼쪽 행의 부호 변화의 개수가 RHP(Right-Half Plane)의 존재하는 Poles의 수라고 할 수 있다. 즉, RH table의 가장 왼쪽 행의 변수들이 모두 양수여야 Stability가 확보된다.

Figure 5. General RH Table Example

Figure 5.를 토대로 RH Table을 구하면 Table 2.가 된다. 이때 두 번째행에서 10과 1030을 약분하는 것은 항상 최고차 항의 계수를 1로 만들고 계산하기 때문이다. Transfer function에서 최고차항을 기준으로 계산하기 때문에 분모, 분자에 같은 인수를 곱해도 결과는 같다.

Table 2. RH Table for Figure 5.

따라서 Table 2.에 의해 해당 시스템은 Unstable poles를 2개 갖는다는 것을 알 수 있으며 Unstable system이다.

 

3.2. Routh-Hurwitz Criterion: Epsilon Method

RH table을 만들 때 분모로 나눠주는 요소가 0이 되는 경우, RH table 과정을 진행할 수 없다. 이때 0을 아주 작은 실수 epsilon으로 치환하고 계산한다. 이때 Transfer function이 Equation 6.처럼 정의됐다고 하자.

Equation 6.

이를 통해 구한 RH table의 맨 왼쪽 행에 Epsilon을 특정 부호로 가정했을 때 결과는 Table 3.과 같다. 양수일 때 음수일 때 모두 2개의 Unstable poles를 갖는다.

Table 3. Epsilon Method RH Table

3.3. Routh-Hurwitz Criterion: Entire Row is Zero

RH Criterion에는 Equation 7.처럼 한 열이 전부 0이 되는 경우도 존재한다.

Equation 7.

이 때는 0이 되는 열 P(s)를 s에 대해 미분하여 Equation 8.처럼 만들고 Table 4.를 구할 수 있다.

Equation 8.

 

Table 4. Entire Low is Zero RH Table

따라서 해당 시스템은 RH Table의 1열이 양수가 되므로 Stable system이다.

 

* Reference

Github Simulation: https://github.com/TitusChoi/Classical_Control/
Figures: Nise, N. S. (2015). Control systems engineering.