[Classical Control]Controller Design: Steady-State Error(Steady-State Response)

1. Introduction

실무에서 빠른 시간에 결정되는 Transient response와 다르게 궁극적인 시스템 설계의 목적인 Steady-state error에 대해 알아보기로 하자. Steady-state에서 Error를 0으로 수렴하게 만드는 것이 주요 목표이며, 이때의 Error를 특별히 Steady-state error라고 부른다.

 

2. Steady-State Error Test Waveforms

Figure 1. Test Waveforms

Steady-state error를 구하기 위해 입력을 대표적으로 Figure 1.처럼 인가한다. Step input의 경우 시스템 추정을 볼 수 있어 자주 활용된다.

 

3. Unity Feedback Systems Steady-State Error

Figure 2. Unity Feedback System

Steady-state error는 Unity feedback system에서 Performance를 개선하고 설계하기 때문에 Figure 2.처럼 Unity feedback system 기준으로 살펴보기로 하자. 만약 시스템이 Unity feedback이 아니라면 변형하여 Unity feedback으로 변형하여 시스템 설계를 한다. 이때 시스템의 Plant G(s)의 Controller 역할을 하는 C(s)를 Controller라고 하며, Feedback system의 Controller이기 때문에 Feedback controller라고 한다. 이때 H(s)는 y(t)의 상태를 측정하는 Sensor이다. 이 센서가 1로 Unity feedback 되었다고 가정한다. 이때 Closed-loop Transfer function T(s)을 구하는 과정은 Equation 1.과 같다.

Equation 1.

여기서 Steady-state error는 Final value theorem에 의해 Equation 2.와 같이 정리된다.

Equation 2.

이때 Test waveforms를 적용할 R(s)에 의해 System의 Type에 따른 Steady-state error를 관찰할 수 있게 된다.

 

4. Static Error Constants

Figure 3. Unity Feedback System

전달함수를 하나로 합쳐 G(s)라 하고 Figure 3.처럼 시스템을 정의한다고 할 때, Steady-state error는 각각의 Waveforms에 대해 Equation3., 4., 5.와 같이 정의된다. 우선 Step input u(t)에 대해,

Equation 3.

Ramp input tu(t)에 대해,

Equation 4.

Parabolic input 1/2*t^2*u(t)에 대해,

Equation 5.

이 때 분모는 Steady-state error를 결정하는 제한 조건을 갖게 되고, 이를 Static error constants라고 부른다. Position constant Kp, Velocity constant Kv, Acceleration constant Ka는 Equation 6.과 같이 정의된다.

Equation 6.

5. System Type

Figure 4. System Type Form of Transfer Function

System type은 Figure 4.에서 순수 분모의 최종 차수 n과 같다. 즉, n=1이면 Type 1 시스템이다. Steady-state error와 Static error constant, 그리고 Error는 Table 1.과 같은 관계를 갖게 된다. 

Table 1. Relationships between Input, System Type, Static Error Constants, and Steady-State Errors

 

6. Steady-State Error for Disturbances

Figure 5. Feedback Control System with Disturbance

Figure 5.처럼 Disturbance D(s)가 Controller C(s) 뒤에 영향을 미친다고 할 때 Error는 Equation 7.과 같다.

Equation 7.

이때 Y(s)는 Equation 8과 같고, 이를 정리하면 최종적으로 Equation 9.가 된다.

Equation 8.

Equation 9.

여기서 Final value theorem에 의해 Disturbance가 존재할 때 Steady-state error를 Equation 10.처럼 구할 수 있다.

Equation 10.

이때 Input R(s)의 Steady-state error와 Disturbance D(s)의 Steady-state error를 각각 Equation 11.과 Equation 12.처럼 정의할 수 있다.

Equation 11.

Equation 12.

 

* Reference

Figures: Nise, N. S. (2015). Control systems engineering.